ご質問は、この「北陣屋」「西陣屋」が複合名詞なのか、複合せずに続いているだけなのか、ということでよろしいでしょうか？
複合していなくて、名詞と名詞が並んでいる、というのは、たとえば「彼自身」「国全体」「癌完治」「年1回」「愛燦々」…などですね？
これらは、片方の要素が2拍であっても、そもそも複合名詞ではないので続けません。
「北陣屋」「西陣屋」は、多分複合名詞です。
「北の陣屋」「西の陣屋」という意味だと思いますが、それでも複合名詞です。「北アルプス」「北朝鮮」「西海岸」「西日本」も複合名詞です。
名詞＋名詞の複合名詞でもいろいろな種類があって、2つの言葉が並列関係にあるもの（「白黒」「今日明日」など）もあるし、前の言葉が後の言葉を修飾する関係（「朝ごはん」「夏休み」など）もあるし、目的語と動詞（の名詞形）の関係（「皿洗い」「歯磨き」など）もあります。もっといろいろあるのだろうと思います。
複合語か複合語でないかは、辞書の見出し語になっているかどうかが、ある程度参考にはなります。
当然ながら、全部の複合語が辞書に載っているわけではありませんので、辞書にないからといって複合語でないとは言えませんが、複合語でないものは見出し語になっていない（連語や諺など例外はありますが）とは言えそうです。
複合語でないもの、つまり「年1回」や「愛燦々」は見出し語にはなっていないはずです。
…というようなことでよろしいでしょうか？
的外れでしたら、申し訳ありません。
もし見当違いであれば、再度書き込んでいただけるとありがたいです。